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【人間的統計學】聊聊各種分佈1：讓你不白努力的白努力分佈及其變身後的二項分佈，如有侵權，可聯絡刪除
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【人間的統計學】聊聊各種分佈1：讓你不白努力的白努力分佈及其變身後的二項分佈
第一次看到“白努力”這個名字的時候，突然感覺打通了東西方文化的壁壘。我們老家就流傳著“起賤名，好養活”的說法。所以，周圍有好多“鐵蛋”，“狗剩”，“二丫”之類的小名。以至於我總尋思，如果我爸媽給我起個小名叫“瞎忙活”，會不會就能有更多的學術成就了。唉。儘管如此，我還是淺薄了。後來知道人家“白努力"是姓，而不是名。咱的文化裡，就算是改名，也改不了姓啊。或許，等某一天，我人生蓋棺定論時，可以在墓碑上寫上“蔣·瞎忙活·新宇”。在形式上，與偉大的人物對齊。哈哈哈哈。（Bernoulli distribution，官方翻譯應該是伯努利分佈。但你可以想象東北口音把“伯”重讀成“白”的感覺，直到走出東北之前，我都一直白努力白努力的......）
拉回來，說正經的。我們到處都見到的“白努力”，可能不是一個人。白努力是瑞士的一個商人和學者家族。這個家族經常出現在書本上的有三個人，哥哥雅各布白努力，對，這個是我們機率統計裡面正牌的白努力，以白努力分佈而聞名。弟弟約翰白努力，大數學家，以最速降線聞名。他應該沒有他哥哥那麼有名。但他有個很厲害的學生，就是大神尤拉（哇，大神尤拉的老師啊）。他還有一個很優秀的兒子，丹尼爾白努力，嗯，就是流體力學的白努力定理的那個白努力。這種“一門三學士，師徒皆大家”的感覺，跟我偶像蘇東坡他家一模一樣。
好了，我們回到雅各布的白努力分佈（Bernoulli distribution）吧。白努力分佈是一個離散型機率分佈，又叫兩點分佈或者0-1分佈。定義如下：
如果一個隨機變數 只能取值0和1，並且機率為 和 , ，則隨機變數 具有引數為 的白努力分佈。我們還可以用一種更帥氣的方式表達：
這是數學的表達的魅力，一個公式把兩種意思表達得清清楚楚：當 時，帶進去， ；當 時，帶進去， 。這種表達在以後寫似然函式的時候，非常有用，使得你不用同時寫好幾個公式。 白努力分佈的期望和方差都挺好算的：
白努力分佈很簡單，就是0-1分佈。我們用柱狀圖就能很好地表示出來。
這0-1分佈啊，就像我們人生中的好多事情，拋開事實不談，不就是兩種結果麼？成功或者失敗，然後再加上個機率。這種表達一次成功或失敗的機率分佈，的確不用很深刻地去理解。范仲淹先生不是說麼“不以物喜不以己悲”，徐志摩同學也說過“得之我幸不得我命”。一次的成功或失敗，加強人生舞臺上作為一個演員的自我修煉就好了。畢竟，人生不是一次事件決定的。但，萬一一輩子，一直失敗，我是說萬一哈，那值得思考了。
我們把問題簡化和具象一些吧。假設我們人生經歷的事情是一個序列 ,這些事情是相互獨立的且每個事情都只有兩種狀態，成功1，失敗0.然後所有成功的機率都是 。問，那些0-1隨機變數的總和， 的機率分佈是怎麼樣的。於是，我們得出了0-1分佈的集合變身---二項分佈。（小時候看過那個集合變身的動畫片吧？組成腳和腿，組成軀幹和手臂，我來組成頭部...）
如果隨機變數 服從以 為引數的白努力分佈， ，那麼 服從以 , 為引數的二項分佈。由於 在成功時候取1，失敗時候取0，那麼這個 加和組成的 ，你完全可以當成成功的次數。
記住了二項分佈是白努力的組合變身，那麼他的期望和方差，也自然而然就記住了。
這種組合，還可以再升級一個版本：如果隨機變數 服從引數為 ， 的二項分佈，那麼 則服從以 和 為引數的二項分佈。這些性質，極大地方便了二項分佈的應用。
我們來看看二項分佈隨引數變化的樣子吧。老規矩，兩個引數，我們先固定一個，看另一個變化導致的形狀變化。先固定p，看n的變化。
再固定n，看p的變化。
白努力和二項分佈最著名的應用，應該就是group testing了。爲了紀念5年前的那段經歷，我們寫一個當時背景下的例子吧：疫情下，爲了保護人民生命財產安全，大家都要做核酸。設某大學有1000名學生。一次核酸試劑測試20塊錢。已知xx疫情的感染率是0.02%。問，如何做核酸才能保證準確和經濟？
當然，土豪如你的校長可以大手一會，說“做，大家都做。1000乘以20也不過20000的事兒。”
嗯，行，這能保證準確。全員來一次，也不過20000塊錢的事兒。
但，很快，校長同志就頂不住了。一天20000倒是小事兒，但是架不住天天要做啊？
於是，100天以後，他哭著抱著統計系老師的大腿說“求您想想辦法吧！”
統計老師輕輕撫摸著校長的頭，說：“哭有錘子用，看老子給你弄得巴適。”（你看，多麼浪漫的想象啊...）
於是，統計老師掐指一算：每個人有兩種狀態，感染1，非感染0，感染機率是0.0002。那麼每個人的狀態服從白努力分佈 。1000個人，如果做1000次試劑測試，那麼我們可以知道 ，服從 的二項分佈。我們期望感染人數為1000乘以0.0002=0.2人，我們有很大可能一個人都不感染。
哎呀，爲了一個0.2的期望，每次花20000塊錢做檢測，即使政治再正確，經濟也受不了啊。OK，我們得想點辦法。
統計老師接著說，那，不如我們這樣，先講1000人分成10組，每組100人。然後把100人的核酸棉籤取樣液都抽出一點混在一起測一次。這樣，我們測10次就能測完1000人。這時，如果某組發現感染者，再對這一組全員進行的核酸棉籤取樣液進行測試。這樣，最少我們花200塊錢做10次，最多花20200做1010次就能搞定。
我們再認真算一下：設 是第 組的情況，那麼 包含有感染者1和無感染者0兩種狀態。有感染者狀態的機率為 。於是 。而10組的狀態就服從二項分佈 。那麼我們要測試的次數就是 （比如Y=2，說明兩組有感染者，那麼要測試的次數就是200）,由於 ,所以分組的期望測次數就是 次。再加上我們必須要測的10次，分組混合條件下，平均只需要測試30次，600塊錢就能搞定了。
我們把測量次數的機率分佈畫一下。你可以看到，最壞的情況，我們需要測1010次，出現的機率9.261e-18，這幾乎是不可能事件。即使是測310次，機率也才8.098e-04。大部分情況下，我們只需要10次（p=0.819）或者110次（p=0.165）。
剛纔把1000人分成10組，我們只是隨意地分了一下。再稍微拓展一點，按照這個計算方法，看看分成更少的組數或者更多的組數會是怎麼樣呢？
將混合組數與期望測試次數做一個散點圖，就能清晰地瞭解，1000個人我們分多少組進行測試最具有經濟性了。從圖中我們可以看到，分10-20組進行混合測試，是比較好的。大概30次左右測試就能搞定1000人了。
好啦，故事就到這裏了。統計老師幫校長解決了問題。校長感激不盡。從此，統計老師升職、加薪、迎娶白富美、走上人生巔峰...哈哈哈哈...（這只是一個故事哈，生活中，我們可以解決問題，但不能看到領導的脆弱）。但不管怎麼樣，我們看到了，白努力分佈，讓我們沒有白努力。lol
說起了疫情，我們都是幸運的。我想到了一些人。我把當時寫的文字留在這裏吧。爲了紀念，爲了忘卻的紀念。
時代的---紀念李醫生和他們
題記：人只因爲疼痛而流淚，不會因為白細胞的死而哭。
當你不屬於你，
便可勇往直前，無所畏懼。
當你真屬於你，
也會義無反顧，前赴後繼。
可是人啊，總是在是你非你之間猶豫，
於是大了聲音，小了記憶。
當我不屬於我，
便可淡看風雲，盡得其所。
當我真屬於我，
也會目營心匠，洞若觀火。
可是人啊，總是在是我非我之間蹉跎，
於是難得糊塗，模稜兩可。
這地球在轉啊轉，轉啊轉，重複著，重複著。
這世界在變啊變，變啊變，在試錯，在試錯。
像湖面一粒石子的波，
像託體同山阿的輓歌，
蝴蝶不一定是效應，也可能是莊生曉夢的傳說。
明天太陽會照著英雄的紀念碑，
十年後誰的回憶裡殘留著餘悲？
都是統計的樣本，都是歷史的菸灰。
都在時代中消逝，都在紅塵裡紛飛。
可是，
微斯人，吾誰與歸！
半夜寫專案本子，寫不下去時，突然想起了李醫生。他和我同年，都是東北人，都在武漢。他已經去了，雖然可能什麼都沒改變。我在寫本子，可能也不會改變什麼。但我們都想讓這個時代更美好一些。真實和美好，是歷史的塵埃都想努力的原因吧。2020.04
完結
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