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【人间的统计学】聊聊各种分布1：让你不白努力的白努力分布及其变身后的二项分布，如有侵权，可联系删除
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【人间的统计学】聊聊各种分布1：让你不白努力的白努力分布及其变身后的二项分布
第一次看到“白努力”这个名字的时候，突然感觉打通了东西方文化的壁垒。我们老家就流传着“起贱名，好养活”的说法。所以，周围有好多“铁蛋”，“狗剩”，“二丫”之类的小名。以至于我总寻思，如果我爸妈给我起个小名叫“瞎忙活”，会不会就能有更多的学术成就了。唉。尽管如此，我还是浅薄了。后来知道人家“白努力"是姓，而不是名。咱的文化里，就算是改名，也改不了姓啊。或许，等某一天，我人生盖棺定论时，可以在墓碑上写上“蒋·瞎忙活·新宇”。在形式上，与伟大的人物对齐。哈哈哈哈。（Bernoulli distribution，官方翻译应该是伯努利分布。但你可以想象东北口音把“伯”重读成“白”的感觉，直到走出东北之前，我都一直白努力白努力的......）
拉回来，说正经的。我们到处都见到的“白努力”，可能不是一个人。白努力是瑞士的一个商人和学者家族。这个家族经常出现在书本上的有三个人，哥哥雅各布白努力，对，这个是我们概率统计里面正牌的白努力，以白努力分布而闻名。弟弟约翰白努力，大数学家，以最速降线闻名。他应该没有他哥哥那么有名。但他有个很厉害的学生，就是大神欧拉（哇，大神欧拉的老师啊）。他还有一个很优秀的儿子，丹尼尔白努力，嗯，就是流体力学的白努力定理的那个白努力。这种“一门三学士，师徒皆大家”的感觉，跟我偶像苏东坡他家一模一样。
好了，我们回到雅各布的白努力分布（Bernoulli distribution）吧。白努力分布是一个离散型概率分布，又叫两点分布或者0-1分布。定义如下：
如果一个随机变量 只能取值0和1，并且概率为 和 , ，则随机变量 具有参数为 的白努力分布。我们还可以用一种更帅气的方式表达：
这是数学的表达的魅力，一个公式把两种意思表达得清清楚楚：当 时，带进去， ；当 时，带进去， 。这种表达在以后写似然函数的时候，非常有用，使得你不用同时写好几个公式。 白努力分布的期望和方差都挺好算的：
白努力分布很简单，就是0-1分布。我们用柱状图就能很好地表示出来。
这0-1分布啊，就像我们人生中的好多事情，抛开事实不谈，不就是两种结果么？成功或者失败，然后再加上个概率。这种表达一次成功或失败的概率分布，的确不用很深刻地去理解。范仲淹先生不是说么“不以物喜不以己悲”，徐志摩同学也说过“得之我幸不得我命”。一次的成功或失败，加强人生舞台上作为一个演员的自我修炼就好了。毕竟，人生不是一次事件决定的。但，万一一辈子，一直失败，我是说万一哈，那值得思考了。
我们把问题简化和具象一些吧。假设我们人生经历的事情是一个序列 ,这些事情是相互独立的且每个事情都只有两种状态，成功1，失败0.然后所有成功的概率都是 。问，那些0-1随机变量的总和， 的概率分布是怎么样的。于是，我们得出了0-1分布的集合变身---二项分布。（小时候看过那个集合变身的动画片吧？组成脚和腿，组成躯干和手臂，我来组成头部...）
如果随机变量 服从以 为参数的白努力分布， ，那么 服从以 , 为参数的二项分布。由于 在成功时候取1，失败时候取0，那么这个 加和组成的 ，你完全可以当成成功的次数。
记住了二项分布是白努力的组合变身，那么他的期望和方差，也自然而然就记住了。
这种组合，还可以再升级一个版本：如果随机变量 服从参数为 ， 的二项分布，那么 则服从以 和 为参数的二项分布。这些性质，极大地方便了二项分布的应用。
我们来看看二项分布随参数变化的样子吧。老规矩，两个参数，我们先固定一个，看另一个变化导致的形状变化。先固定p，看n的变化。
再固定n，看p的变化。
白努力和二项分布最著名的应用，应该就是group testing了。为了纪念5年前的那段经历，我们写一个当时背景下的例子吧：疫情下，为了保护人民生命财产安全，大家都要做核酸。设某大学有1000名学生。一次核酸试剂测试20块钱。已知xx疫情的感染率是0.02%。问，如何做核酸才能保证准确和经济？
当然，土豪如你的校长可以大手一会，说“做，大家都做。1000乘以20也不过20000的事儿。”
嗯，行，这能保证准确。全员来一次，也不过20000块钱的事儿。
但，很快，校长同志就顶不住了。一天20000倒是小事儿，但是架不住天天要做啊？
于是，100天以后，他哭着抱着统计系老师的大腿说“求您想想办法吧！”
统计老师轻轻抚摸着校长的头，说：“哭有锤子用，看老子给你弄得巴适。”（你看，多么浪漫的想象啊...）
于是，统计老师掐指一算：每个人有两种状态，感染1，非感染0，感染概率是0.0002。那么每个人的状态服从白努力分布 。1000个人，如果做1000次试剂测试，那么我们可以知道 ，服从 的二项分布。我们期望感染人数为1000乘以0.0002=0.2人，我们有很大可能一个人都不感染。
哎呀，为了一个0.2的期望，每次花20000块钱做检测，即使政治再正确，经济也受不了啊。OK，我们得想点办法。
统计老师接着说，那，不如我们这样，先讲1000人分成10组，每组100人。然后把100人的核酸棉签采样液都抽出一点混在一起测一次。这样，我们测10次就能测完1000人。这时，如果某组发现感染者，再对这一组全员进行的核酸棉签采样液进行测试。这样，最少我们花200块钱做10次，最多花20200做1010次就能搞定。
我们再认真算一下：设 是第 组的情况，那么 包含有感染者1和无感染者0两种状态。有感染者状态的概率为 。于是 。而10组的状态就服从二项分布 。那么我们要测试的次数就是 （比如Y=2，说明两组有感染者，那么要测试的次数就是200）,由于 ,所以分组的期望测次数就是 次。再加上我们必须要测的10次，分组混合条件下，平均只需要测试30次，600块钱就能搞定了。
我们把测量次数的概率分布画一下。你可以看到，最坏的情况，我们需要测1010次，出现的概率9.261e-18，这几乎是不可能事件。即使是测310次，概率也才8.098e-04。大部分情况下，我们只需要10次（p=0.819）或者110次（p=0.165）。
刚才把1000人分成10组，我们只是随意地分了一下。再稍微拓展一点，按照这个计算方法，看看分成更少的组数或者更多的组数会是怎么样呢？
将混合组数与期望测试次数做一个散点图，就能清晰地了解，1000个人我们分多少组进行测试最具有经济性了。从图中我们可以看到，分10-20组进行混合测试，是比较好的。大概30次左右测试就能搞定1000人了。
好啦，故事就到这里了。统计老师帮校长解决了问题。校长感激不尽。从此，统计老师升职、加薪、迎娶白富美、走上人生巅峰...哈哈哈哈...（这只是一个故事哈，生活中，我们可以解决问题，但不能看到领导的脆弱）。但不管怎么样，我们看到了，白努力分布，让我们没有白努力。lol
说起了疫情，我们都是幸运的。我想到了一些人。我把当时写的文字留在这里吧。为了纪念，为了忘却的纪念。
时代的---纪念李医生和他们
题记：人只因为疼痛而流泪，不会因为白细胞的死而哭。
当你不属于你，
便可勇往直前，无所畏惧。
当你真属于你，
也会义无反顾，前赴后继。
可是人啊，总是在是你非你之间犹豫，
于是大了声音，小了记忆。
当我不属于我，
便可淡看风云，尽得其所。
当我真属于我，
也会目营心匠，洞若观火。
可是人啊，总是在是我非我之间蹉跎，
于是难得糊涂，模棱两可。
这地球在转啊转，转啊转，重复着，重复着。
这世界在变啊变，变啊变，在试错，在试错。
像湖面一粒石子的波，
像托体同山阿的挽歌，
蝴蝶不一定是效应，也可能是庄生晓梦的传说。
明天太阳会照着英雄的纪念碑，
十年后谁的回忆里残留着余悲？
都是统计的样本，都是历史的烟灰。
都在时代中消逝，都在红尘里纷飞。
可是，
微斯人，吾谁与归！
半夜写项目本子，写不下去时，突然想起了李医生。他和我同年，都是东北人，都在武汉。他已经去了，虽然可能什么都没改变。我在写本子，可能也不会改变什么。但我们都想让这个时代更美好一些。真实和美好，是历史的尘埃都想努力的原因吧。2020.04
完结
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